Определить закон движения материальной точки

Уравнение движения материальной точки

Определить закон движения материальной точки

Определение 1

Движение материальной точки в пространстве – это изменение ее положения относительно других тел с течением времени.

Имеет смысл говорить только о движении в некоторой системе отсчета.

Система отсчета. Системы координат

Точки, располагаемые в пустом пространстве, не различаются. Поэтому о точке рассуждают при условии нахождения в ней материальной точки. Определить ее положение можно при помощи измерений в системе координат, где и проводится нахождение пространственных координат. Если рассматривать в виде примера поверхность Земли, то следует учитывать широту и долготу располагаемой точки.

В теории используется декартова прямоугольная система координат, где определение точки возможно при наличии радиус-вектора r и трех проекций x, y, z – ее координат. Могут быть применены другие:

  • сферическая система с положением точек и ее радиус-вектором, определенных координатами r, υ, φ;
  • цилиндрическая система с координатами p, z, α;
  • на полярной плоскости с параметрами r, φ.

В теории зачастую не принимают во внимание реальную систему отсчета, а сохраняют только ту, которая представляет собой ее математическую модель, применяемую во время практических измерений.

Кинематическое уравнение движения материальной точки

Любая система отсчета или координат предполагает определение координат материальной точки в любой момент времени.

Определение 2

При условии положения и определения материальной точки в данной системе отсчета считается, что ее движение задано или описано.

Это возможно при использовании кинематического уравнения движения:

r¯=r¯(t) (1).

Определение 3

Аналитически положение точки определяется совокупностью трех независимых между собой чисел. Иначе говоря, свободная точка имеет три степени свободы движения.

Ее перемещение по уравнению (1) определено, если имеется указанное положение в любой момент времени t. Для этого следует задавать декартовы координаты точки в качестве однозначных и непрерывных функций времени:

x(t)=x, y(t)=y, z(t)=z (2).

Прямоугольные декартовы координаты x, y, z – это проекции радиус-вектора r¯, проведенного из начала координат. Очевидно, что длину и направление r¯ можно найти из соотношений, где a, β, γ являются образованными радиус-вектором углами с координатными осями.

Определение 4

Равенства (2) считают кинематическими уравнениями движения материальной точки в декартовых координатах.

Опиши задание

Они могут быть записаны в другой системе координат, которая связана с декартовой взаимно однозначным преобразованием. Если движение точки происходит в плоскости Оху, тогда применимы полярные координаты r, φ, относящиеся к декартовым преобразованиям. Данный случай подразумевает использование уравнения движения точки следующего вида:

r=r(t), φ=φ(t) (3).

Кинематическое уравнение движения точки в криволинейных координатах q1, q2, q3, связанных с декартовыми преобразованиями вида x=x(q1, q2, q3), y=y(q1, q2, q3), z=z(q1, q2, q3) (4), записывается как

q1=q1(t), q2=q2(t), q3=q3(t) (5).

Кривая радиус-вектора, описываемая концом вектора r при движении точки, совпадает с ее траекторией. Параметрическое уравнение траектории с t представлено кинематическими уравнениями (2), (5). Чтобы получить координатное уравнение траектории следует исключить время из кинематических уравнений.

Определение 5

Определение движения точки возможно с помощью задания траектории и мгновенного положения точки на ней. Ее положение на кривой определяется с помощью указания только одной величины: расстояния вдоль кривой от некоторой начальной точки с положительным направлением:

s=s(t).

Это и есть уравнение движения точки по траектории. Способ его задания относят к естественному или траекторному.

Понятия координатного и естественного способа задания движения точки физически эквивалентны. С математической стороны это рассматривают как возможность применения разных методов, исходя из случая математической задачи.

Задание такого закона возможно аналитическим, графическим путем или с использованием таблицы, последние два из которых зачастую рассматривают в виде графиков и расписаний движений поездов.

Пример 1

Дано уравнение движения материальной точки x=0,4t2. Произвести запись формулы зависимости υx(t), построить график зависимости скорости от времени. На графике отметить площадь, численно равную пути, пройденному точкой за 4 секунды, произвести вычисление.

Дано: x=0,4t2, t=4c

Найти: υx(t), S – ?

Решение

При решении необходимо учитывать зависимость скорости от времени:

υx=υ0x+axt.

Зависимость координаты от времени и сравнение уравнения с заданным принимает вид:

x=x0+υ0xt+axt22, x=0,4t2.

Очевидно, что x0=0, υ0x=0, ax=0,8 м/с2.

После подстановки данных в уравнение:

υx=0,8t.

Определим точки, изобразим график:

υx=0, t=0, υx=4, t=5

Рисунок 1

Путь, по которому двигалось тело, равняется площади фигуры, ограниченной графиком, и находится с помощью формулы:

S=0,4t2=6,4 м.

Ответ: S=6,4 м.

Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter

Не получается написать работу самому?

Доверь это кандидату наук!

Источник: https://Zaochnik.com/spravochnik/fizika/osnovy-dinamiki/uravnenie-dvizhenija-materialnoj-tochki/

Слободянюк А.И. Физика 10/2.6

Определить закон движения материальной точки

книги

Предыдующая страница

2.6 Равномерное движение материальной точки вдоль прямой

Напомним, что равномерным называется движение с постоянной скоростью.

Так как скорость величина векторная, то постоянство скорости предполагает постоянство и направления движения, то есть движение по прямой линии [1].

При таком движении можно совместить направление одной из осей системы координат вдоль траектории движения, тогда движение материальной точки полностью описывается одной функцией.

Найдем зависимость координаты от времени (закон движения) при равномерном движении вдоль прямой. Непосредственно из формулы \(~\upsilon = \frac{\Delta x}{\Delta t}\) , определяющей скорость движения, можно выразить

\(~x = x_0 + \upsilon (t – t_0)\) . (1)

Эта формула дает закон движения материальной точки при ее равномерном движении вдоль прямой. Знание только скорости движения не позволяет однозначно определить его закон – необходимо знать положение (то есть координату) тела в какой-то момент времени.

Часто это дополнительное условие называют начальным – в начальный момент времени t0 тело находится в точке с координатой x0 .

Однако, совсем не обязательно, чтобы движение начиналось в момент времени t0 – формулу (1) можно применять для любых времен t (в том числе и t< t0 ), важно только, чтобы во все рассматриваемые моменты времени продолжалось движение с той же скоростью.

В этом смысле закон движения обратим – его можно использовать как для того, чтобы предсказать положение тела в будущем (t >t0), так и для того, чтобы определить, где оно находилось в прошлом (t< t0).

При рассмотрении системы координат мы неоднократно подчеркивали, что выбор начала отсчета координат произволен, так же произволен и выбор начала отсчета времени t0. Физический смысл этого «произвола» – вы можете пустить свои часы в любой удобный для вас момент времени. Поэтому часто в формуле закона движения полагают, что t0 = 0, тогда

\(~x = x_0 + \upsilon t\) . (3)

Различие между формулами (1) и (2) при описании одного и того же движении только в начальном отсчете времени: при описании движения с помощью формулы (1) полагают, что тело находилось в точке с координатой x0 при t = t0 , а в формуле (2) при t = 0.

С математической точки зрения закон движения является функцией, и как всякая функция может быть проиллюстрирован графиком. Графическое представление различных законов наглядно, информативно и чрезвычайно распространено как в физике, так и в других естественных науках.

Построим график функции, описываемой уравнением (1). Зависимость x(t) в данном случае линейна, поэтому ее график является прямой линией (рис. 12). Эта прямая проходит через точку [2] A с координатами (t0,x0).

Точки пересечения графика с осями координат также имеют наглядный физический смысл: x1 – положение тела в момент времени t = 0 ; t2 – момент времени, когда тело находилось в точке начала отсчета.

Наклон графика определяется скоростью точки – чем выше скорость, тем больший угол образует график с осью t.

Иногда говорят, что скорость численно равна тангенсу угла наклона графика закона движения к оси времени. Действительно, в прямоугольном треугольнике АВС длина отрезка ВС равна Δt, а длина отрезка АС равна Δx.

Следовательно, их отношение, с одной стороны равно скорости движения \(~\upsilon = \frac{\Delta x}{\Delta t}\) , а, с другой – тангенсу угла ∠ ABC.

К этому утверждению следует относиться с большой осторожностью, так как изменения координаты Δx и времени Δt являются физическими величинами и имеют разные размерности, поэтому масштабы соответствующих осей могут выбираться произвольно, независимо друг от друга.

Изменение масштаба одной из осей приведет к изменению угла наклона графика, скорость же при этом, конечно, не изменится. Поэтому измерять скорость с помощью транспортира не разумно. Поэтому «тангенс наклона» \(~\frac{\Delta x}{\Delta t}\) следует понимать как отношение физических величин, а не длин отрезков на рисунке с произвольным масштабом. Во избежание подобной путаницы в дальнейшем для обозначения отношения \(~\frac{\Delta x}{\Delta t}\) мы будем использовать термин – коэффициент наклона.

На рис.

13 приведены графики законов движения нескольких человек вдоль одной прямой, причем их движение может быть словесно описано следующим образом: «Из пункта A (расположенного в точке с координатой xA) одновременно вышли два пешехода, причем второй двигался со скоростью в два раза большей скорости первого. Навстречу им из пункта B (расположенного в точке с координатой xB) вышел третий пешеход, со скоростью равной скорости второго. Третий пешеход встретил второго в момент времени t1 в точке с координатой x1, а затем первого в момент времени t2 в точке с координатой x2. В момент времени t3 он прибыл пункт A.» Вот такая «история» изображена на этом графике! Согласитесь, графический способ описания гораздо короче и нагляднее.

В том случае, когда мы описываем движение нескольких тел в разных направлениях, неразумно для каждого тела вводить свою систему координат. В такой ситуации предпочтительнее ввести одну систему координат, а движение каждого тела описывать в векторной форме.

Непосредственно из определения вектора скорости \(~\vec \upsilon = \frac{\Delta \vec r}{\Delta t}\) следует, что векторная запись закона равномерного движения имеет вид

\(~\vec r = \vec r_0 + \vec \upsilon (t – t_0)\) , (3)

где \(~\vec r\) – радиус-вектор точки в произвольный момент времени t, \(~\vec r_0\) – радиус-вектор точки в некоторый момент времени t0. По поводу закона движения (3) можно повторить все рассуждения, касающиеся необходимости задания начальных условий, приведенные ранее.

Заметим, что уравнение (3), как любое векторное соотношение, имеет наглядную геометрическую интерпретацию (рис.14), причем величина \(~\vec \upsilon (t – t_0)\) также является вектором и может быть изображена в виде направленного отрезка A0A1 .

Мы построили и описали одну из моделей механического движения, которая как всякая модель упрощает действительное движение. Но эта модель может применяться (и применяется!) для описания некоторых реальных движений.

Необходимо только строго очертить рамки ее применимости, которые определяются постановкой задачи – насколько подробно, детально и с какой точностью требуется описать движение. По определению, движение является равномерным, если за равные промежутки времени тело проходит равные отрезки пути.

Следовательно, движение можно считать (моделировать) равномерным, если можно пренебречь различиями в расстояниях, проходимых телом за равные промежутки времени.

Примечания

  1. ↑ Тем не менее, достаточно часто говоря о равномерном движении, подразумевают постоянство только модуля, величины скорости. В этом смысле правомочно говорить, например, о равномерном движении по окружности.
  2. ↑ У нас начинают проявляться недостатки разговорного языка: «материальная точка (модель тела) находится в точке (положение тела в пространстве) с координатой x0, что соответствует точкеА (точка на рисунке) на графике закона движения».

    Эти недостатки создают определенные трудности, однако в большинстве случаев из смысла фразы понятно о каких «точках» и «координатах» идет речь.

Следующая страница

Источник: http://www.physbook.ru/index.php/%D0%A1%D0%BB%D0%BE%D0%B1%D0%BE%D0%B4%D1%8F%D0%BD%D1%8E%D0%BA_%D0%90.%D0%98._%D0%A4%D0%B8%D0%B7%D0%B8%D0%BA%D0%B0_10/2.6

Юрист расскажет
Добавить комментарий

;-) :| :x :twisted: :smile: :shock: :sad: :roll: :razz: :oops: :o :mrgreen: :lol: :idea: :grin: :evil: :cry: :cool: :arrow: :???: :?: :!: